Análise
| Linhas de Pesquisa |
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| - Equações Diferenciais e Análise Funcional (L3) |
| Desenvolvimento da Teoria das Equações Diferenciais Funcionais e de Diferenças. Estudo numérico de equações diferenciais. Abordar a existência e a regularidade de soluções periódicas para operadores diferenciais parciais lineares. Em boa parte dos problemas os operadores provêm de campos vetoriais e os espaços das soluções podem ser as classes Gevrey, funções infinitamente diferenciáveis, distribuições e ultradistribuições. |
| - Equações Não Lineares da Física Matemática (L4) |
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| A presente linha de pesquisa tem como objetivo determinar aspectos qualitativos associados às equações de evolução não lineares da física-matemática, tais como: existência (local e global no tempo), unicidade, dependência contínua e persistência com respeito aos dados iniciais, comportamento assintótico, estabilidade/instabilidade orbital e temporal, bem como controle, continuação única e observabilidade para equações de evolução não lineares. Essas equações regem diversos problemas físicos dentre os quais podemos citar vários modelos na mecânica quântica, física do estado sólido, propagação do laser, propagação de ondas em grupo e/ou solitárias, pulsos eletromagnéticos, cristalografia e movimentos de águas rasas. Assim, é de interesse neste projeto obter novos métodos e resultados elaborados relacionados à essas propriedades qualitativas para específicas equações de evolução. Entre estas equações temos, por exemplo, equações do tipo Schrödinger não-linear, Klein-Gordon, equações de Korteweg-de Vries e de Kawahara, sistemas Klein-Gordon-Schrodinger, sistemas Schrodinger-Boussinesq, equações de Kadomtsev-Petviashvili e o sistema Zakharov, equações que regem o movimento de ondas longas sob as hipóteses mais sofisticadas, como por exemplo, as presentes na hierarquia da Korteweg-de Vries. Também estamos interessados em estudar a possível formação de singularidades (pelo fluxo) deste tipo de soluções das equações em questão. |
| - Estabilização e Controle de Sistemas Distribuídos (L5) |
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| Um grande múmero de problemas da física-matemática podem ser modelados por equações a derivadas parciais. Por modelos entendemos um conjunto de equações (ou inequações) que juntamente com condições de fronteira e condições iniciais (quando o fenômeno é de evolução), permite-nos descrever o problema fisico considerado. Denominamos sistemas distribuídos a tal modelagem. Neste último século e graças ao surgimento da Análise Funcional, idéias e noções da teoria dos sistemas com dimensão finita estenderam-se à teoria dos sistemas com dimensão infinita e, particularmente, à teoria das equações diferenciais. Consequentemente, grandes avanços foram obtidos no que concerne à teoria das equações diferenciais que descrevem os mais variados fenômenos fisico-matemáticos. Tão importante quanto à dedução física de um modelo são as propriedades qualitativas ou quantitativas que dele derivam o que nos permite dar informações suplementares sobre o sistema. Nesta direção e graças aos esforços de inúmeros matemáticos, grandes avanços têm sido obtidos no tocante à estabilização, dissipação e controlabilidade de problemas de evolução ligados às equações diferenciais parciais. Novas técnicas foram desenvolvidas e a partir delas tornou-se possível determinar, com precisão, taxas de decaimento da energia, bem gerais, para uma grande variedade de equações, sujeita á dissipação interna ou através da fronteira do sistema. Além disso, é também possível controlar um sistema levando-o de um estado inicial até um estado final, previamente conhecidos. Esta linha de pesquisa tem por objetivo investigar os aspectos qualitativos acima mencionado, de um modo compativel, com segurança e ética e, com o menor custo possível, buscando sempre a optimilidade dos resultados. |